(1) 已知函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\arcsin 2x}{\sin x}, & x < 0 \\ a, & x \ge 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，求常数 $a$ 的值。
(2) 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$